Задача Чандрасекара

В этой статье мы кратко и наглядно рассмотрим вопрос, ответ на который дал в начале 1930-х годов индийско-английский физик Субраманьян Чандрасекар. Вопрос состоит в следующем: что происходит со звездой, когда она остывает, до каких размеров ее сможет сжать гравитация? Ответ был столь удивительным, что не принимался научным сообществом несколько десятилетий. Об истории открытия Чандрасекара лучше почитать замечательнейшую книгу Кипа Торна “Черные дыры и складки времени”. Мы же опустим историю и обратимся к самой физике.

Задача Чандрасекара — это первая задача, в которой встретились вместе три совершенно разные области физики: гравитация (в ее ньютоновском варианте), релятивизм (специальная теория относительности) и квантовая механика. Нам потребуется по одной формуле из каждой области.

Закон всемирного тяготения (гравитации) Ньютона утверждает, что любые два тела притягиваются друг к другу с силой пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
\[ F = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]
Гравитационная постоянная \(G=7 \cdot 10^{-11}\textit{м}^3\textit{кг}^{-1}\textit{с}^{-2}\) — это одна из фундаментальных размерных констант, которая показывает насколько сильна гравитация, и которую мы извлекаем из экспериментов. Но нас делее будет интересовать не сила, а потенциальная энергия гравитационного притяжения. По определению потенциальная сила равна минус производной потенциальной энергии по координате \(F=-\frac{d}{dr}E_P\). Для двух тел она равна:
\[ E_G = -G \frac{m_1 m_2}{r} \]
Мы же имеем дело со звездой, и все ее части притягиваются друг к другу. Если считать звезду однородным шаром массы \(M\) и радиуса \(R\), то из соображений размерности не трудно получить, что потенциальная энергия с точностью до числового множителя равна:
\[ E_G = -GM^2 \frac{1}{R} \]
Любая физическая система стремится уменьшить свою энергию, например, отдав ее в виде излучения. Уменьшить гравитационную энергию можно уменьшая радиус \(R\). Это и означает, что гравитация сжимает звезду.

Почему же звезды, например наше Солнце, не сжимаются? Дело в том, что гравитации противостоит внутренее давление, которое возникает из-за теплового движения электронов и ядер (для существования атомов температура в звезде слишком высока). Другими словами, для уменьшения объема звезды необходимо совершить работу, которая пойдет на увеличение внутренней кинетической энергии, но гравитации для совершения этой работы не достаточно. Почему это так, мы оставим за скобками, так как термодинамика звездного вещества достаточно сложна.

Однако когда-нибудь звезда остынет. И даже термоядерные реакции, подогревающие ее, рано или поздно прекратятся, превратив все вещество звезды в железо. Представим, что ее температура достигнет абсолютного нуля. Все ли остановится в звезде? Оказывается нет. Квантовая механика утверждает, что частица, заключенная в малом объеме пространства обладает очень большим и неопределенным импульсом. Это знаменитое соотношение неопределенностей Гейзенберга:
\[ \Delta x \Delta p \geq \hbar \]
Произведение неопределенностей координаты и импульса не меньше постоянной Планка \(\hbar=10^{-34}\textit{м}^2\textit{кг }\textit{с}^{-1}\). Еще один закон квантовой механики, принцип запрета Паули, запрещает двум электронам встречаться в одной точке пространства. Такова их природа, электроны как бы отталкиваются друг от друга. Таким образом, каждому электрону для движения остается лишь маленькая ячейка объема с линейным размером \(\Delta x = N^{-\frac{1}{3}}R\), где \(N\) — число электронов. Стало быть каждый электрон обладает большим импульсом \(p=\hbar /\Delta x\) и кинетической энергией \(\varepsilon=\frac{p^2}{2m}\). В итоге у звезды остается внутренняя кинетическая энергия:
\[ E_K = \frac{\hbar^2 N^{\frac{5}{3}}}{m} \frac{1}{R^2} \]
Ее еще называют энергией вырожденного электронного газа. А то, как она увеличивается при уменьшении объема, называют давлением вырожденного электронного газа.

Посмотрите теперь на формулу для гравитационой энергии, сравните ее с формулой для энергии вырожденного электронного газа, и вы поймете, что гравитация не сможет победить принципы квантовой механики. Это можно показать с помощью такой интересной иллюстрации. Представьте себе машинку, которая оказалась в параболической яме. У машинки есть некоторый предельный угол наклона, который она может преодолеть. Но яма параболическая и угол наклона растет неограничено, поэтому машинка навсегда останется в яме. В роли машинки в нашей задаче выступает гравитация. Вводя сжатие \(\xi=\frac{1}{R}\), видим, что гравитационная энергия зависит от него линейно \(E_G\sim\xi\). В роли ямы выступает энергия вырожденного электронного газа, она зависит от сжатия квадратично \(E_K\sim\xi^2\).

Получается что звезды защищены квантовой механикой от гравитационного сжатия. После выгорания термоядерного топлива и остывания, звезда превращается сначала в белого карлика, а потом, остынув окончательно, в черного карлика. Или что-то мы не учли?

Да, мы не учли релятивистские (специальная теория относительности) эффекты. Когда кинетическая энергия электронов приближается и превосходит их энергию покоя, или другими словами, скорость приближается к скорости света \(c=3\cdot10^8\textit{м }\textit{с}^{-1}\), формула \(\varepsilon=\frac{p^2}{2m}\) нарушается. Точная формула для кинетической энергии выглядит так (использовано разложения в ряд Тейлора):
\[
\varepsilon=\sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2} =
\begin{cases}
mc^2+\frac{p^2}{2m}+\dots & , mc^2 \gg pc \\
pc+\dots & , mc^2 \ll pc
\end{cases}
\]
Для малых импульсов основную часть энергии составляет знакомая многим энергия покоя \(mc^2\). К ней добавляется небольшая и тоже хорошо знакомая классическая кинетическая энергия \(\frac{p^2}{2m}\), которую мы уже использовали. При увеличении импульса увеличиваются поправки, которые мы опустили. Когда импульс растет, растут и поправки и ими уже нельзя будет пренебречь. Но для совсем больших импульсов формула вновь становится простой, кинетическая энергия пропорциональна ипульсу. Для полной кинетической энергии в ультрарелятивистском случае получим:
\[ E_{Kr} = \hbar c N^{\frac{4}{3}} \frac{1}{R} \]
Таким образом, по мере сжатия звезды, зависимость энергии вырожденного электронного газа от радиуса меняется. А уклон нашей ямы постепенно выходит на постоянную величину. И если машинка может преодолеть этот уклон, то она до него доберется и сможет покинуть яму, гравитация победит квантовую механику, а звезда сожмется в … черную дыру?

Так полагал Чандрасекар, а многие с ним не соглашались. В итоге он оказался почти прав. Почти потому что на пути сжатия в черную дыру есть еще одно небольшое препятствие, нейтронная звезда. В ней гравитация уравновешивается давлением вырожденного нейтронного газа. Нейтроны образуются при слиянии протонов и электронов (гравитация заставляет их сливаться), и так как их масса в 2000 раз больше электронной, прежняя энергия оказывается меньше энергии покоя и мы возвращаемся к нерелятивистскому случаю, а бока ямы опять загибаются вверх. Если масса звезды недостаточно велика, а значит невелика тяга машинки, сжатие остановится. Но если масса велика, машинка вновь доберется до ровного ультрарелятивистского участка и покинет яму, а звезда превратится в … черную дыру?

Скорее всего, хотя мы еще не уверены в этом на сто процентов.

Приравняем максимальный уклон преодалеваемый машинкой, то есть \(-\frac{dE_G}{d\xi}\), и уклон ровного ультралелятивистского участка ямы, то есть \(\frac{dE_{Kr}}{d\xi}\), и получим условие на возможность схлопывания звезды (учтем, что \(M=Nm_a\), где \(m_a=1,\!6\cdot10^{-27}\textit{кг}\) — масса протона и нейтрона):
\[ GM^2 = \hbar c N^{\frac{4}{3}} \]
\[ N = \Big(\sqrt{\frac{\hbar c}{G}}\Big/ m_a\Big)^3=10^{57} \]
Примерно такое число “атомов” (на каждый электрон приходится один протон и примерно один нейтрон) является критическим, оно называется пределом Чандрасекара. Звезда с меньшим числом частиц, например наше Солнце в полтора раза меньше, защищена от гравитационного коллапса, ее судьба — белый, а затем черный карлик. Звезда с большим числом частиц, если не скинет лишнее, схлопнется в нейтронную звезду и останется ей, если не будет превосходить предел Оппенгеймера–Волкова, в противном случае, видимо, образуется черная дыра.

В эту формулу входит интересная и таинственная величина \(\sqrt{\frac{\hbar c}{G}}=2\cdot10^{-8}\textit{кг}\), которая называется планковской массой. Она составлена из трех фундаментальных констант, в ней сталкиваются гравитация, квантовая физика и релятивизм. Таинственной мы назвали ее потому, что до сих пор не существует теории объединяющей эти три раздела физики. Тем не менее предел, предсказанный Чандрасекаром, оказался очень точным, и на небе не найдено ни одного белого карлика больше, чем предел Чандрасекара.

Written on November 24, 2014