Еще немного о вращении книги

Почему же все-таки возникает неустойчивость? Ведь то, что не запрещено законами сохранения, далеко не факт что произойдет. Давайте разберемся в этом.
Мы решаем вот такое простое уравнение.

Момент импульса это есть произведение тензора инерции и вектора угловой скорости, поэтому

Чему равна производная тензора инерции? Если вспомнить, при вращении тела, произвольный вектор, соединяющий две его точки, меняется по закону \(\dot{r}=\omega \times r\). А тензор инерции, как всякий тензор, меняется как два «слипшихся» вектора. То есть омегу на него нужно умножить дважды, сначала на один вектор, а потом на второй, и когда будем умножать на второй, лучше зайти справа, при этом изменив знак.

Все это можно было бы записать строже, используя индексные обозначения, но это было бы весьма громоздко.
Далее используем тот факт, что встреча двух одинаковых векторов в смешанном произведении обнуляет его, а значит \([J\times \omega ]\omega =0\).
И получаем вот такое уравнение для производной угловой скорости.

Теперь возьмем конкретный случай, когда тензор инерции и угловая скорость имеют такой вид

Если x и z равны нулю, то это просто вращение вокруг оси с моментом инерции b. Рассмотрим небольшое отклонение оси, то есть пусть x и z очень малы. Я не буду писать все выкладки, получается следующее

В этой формуле интересно то, что производная x-компоненты скорости пропорциональна ее z-компоненте и наоборот. Рассмотрим их в отдельности в виде системы дифуров.
Если соотношение между моментами инерции \(a>b>c\), то знаки в системе будет такие \(\begin{cases} \dot{x}\simeq -z \ \dot{z}\simeq -x\end{cases}\)
Кто работал с такими системами, сразу видит здесь седло. Кто не работал пусть посмотрит на карнтинку с векторным полем производной от (x,z).

Седло

Видно, что если система немного отклонится от положения равновесия, то ее унесет далеко и надолго, а это и есть неустойчивость.

А если моменты инерции такие \(b>a>c\), то знаки в уравнении будут такие \(\begin{cases} \dot{x}\simeq -z \ \dot{z}\simeq x\end{cases}\)
И мы получаем фокус.
То есть система немного отклонившись, будет дальше двигаться по окружности, не удаляясь от первоначального положения.

Written on September 4, 2012