Единицы

Изучая физику, мы имеем дело с различными физическими величинами. Некоторые из них встречаются так часто, что заслужили занесения в специальные таблицы. А некторые даже могут служить базисом, которым выражаются все остальные величины. Их называют фундаментальными константами. К ним относятся такие величины, как заряд электрона, радиус Бора, скорость света и многие другие.

Их значения должен помнить любой уважающие себя физик, и уметь легко переходить между разными единицами измерения. Например, энергия ионизации атома водорода равна \(13,\!6\,\text{эВ}\) (электрон-вольт), или \(0,\!5\,\text{а.е.э.}\) (атомная еденица энергии), или \(2,\!18\!\cdot\!10^{-18}\text{Дж}\). Последнее число выглядит не очень приятно, хотя именно оно выражает эту величину в СИ (интернациональной системе единиц), наиболее популярной системе среди нетеоретиков.

В этой статье мы попытаемся ответить на вопрос: почему некоторые из так называемые фундаментальных констант имеют именно те численные (в СИ) значения, которые они имеют? Мы не будем гнаться за точностью, и ошибки на один-два порядка будем считать приемлемыми.

1. Взгляд изнутри

Попробуем посмотреть сами на себя извне, точнее изнутри. Попробуем посмотреть с точки зрения атома. Чем человек является для него? Во-первых, человек — это очень большая куча, состоящая из огромного множества атомов. Их число в человеке:
\begin{equation}
N = 10^{27,9}
\end{equation}
является первым и самым важным параметром в нашем исследовании. Кстати, в физике есть близкая по смыслу константа — число Авогадро \(N_A = 10^{23,8}\). Это число атомов, например, в \(6\) граммах воды, или в \(14,\!5\) граммах воздуха, вобщем число удобное для счета атомов и молекул в предметах, которыми обычно манипулирует человек. Нам же сейчас больше подойдет число \(N\).

Во-вторых, человек — это холодная куча атомов. Температура человека, то есть средня кинетическая энергия движения атомов, из которых он состоит, составляет от атомной единицы температуры всего
\begin{equation}
\theta = 10^{-2,7}
\end{equation}
И это неудивительно, ведь атомная температура — это такая температура, при которой атомы уже не могут существовать, так как при соударениях они ионизируются, то есть разваливаются на составные части: электроны и ионы.

Список свойств человека можно продолжать, но первых двух параметров \(N\) и \(\theta\) нам сейчас хватит.

2. Механика

2.1. Масса

Если человек в состоит из \(N\) атомов, то он в \(N\) раз тяжелее атома. Значит атомная единица массы должна быть равна в СИ
\begin{equation}
m_0 = N^{-1} \,\text{кг} = 10^{-27,9} \,\text{кг}
\end{equation}
На самом деле атомной единицей массы называют массу нуклонов (протона и нейтрона) или легчайшего атома водорода, что равно
\begin{equation}
m_a = 10^{-26,8} \,\text{кг}
\end{equation}
Однако, не реже используется другая масса — масса электрона
\begin{equation}
m_e = 10^{-30,0} \,\text{кг}
\end{equation}
Масса электрона входит в те формулы, которые касаются длин и энергий химических связей, определяют геометрию и химическую активность молекул. А массы ядер, которые состоят из нуклонов, определяют менее важные сейчас для нас параметры, как скорости реакций, частоты долебаний ядер и другие.

2.2. Длина

Если человек состоит из \(N\) атомов, то он линейно в \(\sqrt[3]{N}\) раз больше атома. Значит атомная единица длины должна быть равна в СИ
\begin{equation}
r_0 = N^{-1/3}\,\text{м}= 10^{-9,3}\,\text{м}
\end{equation}
На самом деле атомной единицей длины называют характерный радиус атома водорода (радиус Бора), он равен
\begin{equation}
r_a = 10^{-9,3}\,\text{м}
\end{equation}
Практически точное совпадение.

2.3. Энергия

Итак, мы естественным образом связали атомные и человеческие единицы массы и длины. На очереди третья основная физическая величина — время. Имея эти три единицы можно состотавить единицы для всех остальных механических величин: скорости, ускорения, силы, энергии, давления, мощности и т.д..

Но со временем не все так просто, связь атомных и человеческих времен не столь очевидна. Поэтому, зайдем с другой стороны, со стороны энергии. Имея единицы для массы, длины и энергии, можно будет получить единицу для времени, а значит и все остальные единицы.

Мы предполагаем, что человеческая единицы энергии — это энергия связи человека как кучи атомов. Эта энергия равна энергии химической связи, умноженной на число таких связей в поперечном сечении этой кучи, то есть \(\sqrt[3]{N}^2\). А энергия химической связи примерно равна (в действительности на порядок меньше) атомной единицы энергии (энергии Хартри). Поэтому последняя должна быть равна
\begin{equation}
E_0 = N^{-2/3}\,\text{Дж}= 10^{-18,3}\,\text{Дж}
\end{equation}
А на самом деле
\begin{equation}
E_a = 10^{-17,4}\,\text{Дж}
\end{equation}
Поясним наше предположение. Когда мы ходим, бегаем, прыгаем, наша кинетическая энергия не превосходит нескольких сот джоулей (кстати, в чайной ложке сахара содержится в тысячу раз больше химической энергии). Даже если мы упадем или врежемся на бегу в стену, это может быть очень неприятно и даже травмоопасно, но не разорвет нас на куски. То есть, мы находимся в некотором оптимуме, компромисе между скоростью и безопастностью. Это в свою очередь определяет скорость работы мышц, скорость реакции, ощущение времени, и как следствие единицу времени в СИ — секунду.

2.4. Действие

Теперь рассмотрим действие. Действие — физическая величина, размерность которой, равна произведению размерностей энергии и времени. В классической физике, она редко используется, зато в квантовой физике играет самую важную роль. Можно даже сказать, что квантовая физика начинает давать более точные прогнозы, чем классическая, когда мы сталкиваемся с процессами, в которых совершаются действия сравнимые или меньшие, чем постоянная Планка. Последняя служит атомной единицей измерения действия.
Например, электрон в атоме водорода за один ``оборот’’ вокруг ядра совершает действие в одну постоянную Планка.

Мы же теперь можем выразить ее через \(N\), если вспомним, что \(\text{с}=\text{м}\sqrt{\text{кг}/\text{Дж}}\).
\begin{equation}
S_0 = N^{-7/6}\,\text{Дж}\,\text{с} = N^{-32,6}\,\text{Дж}\,\text{с}
\end{equation}
А на самом деле
\begin{equation}
\hbar = 10^{-34,0}\,\text{Дж}\,\text{с}
\end{equation}

3. Электричество

3.1. Напряжение

Теперь перейдем к электричеству. В СИ все электрические единицы выводятся из единицы силы тока — ампер. Ампер же определяется как сила тока, протекающего по двум параллельным проводникам длины один метр, на расстояние один метр, и притягивающимся друг у другу с силой \(2\!\cdot\!10^{-7}\text{Н}\). Откуда берется последнее число? Почему вместо него не взяли просто один ньютон?

Дело в том, что при таком определении единицей измерения напряжения, вольтом, оказывается величина, очень удобная для этого. Действительно, несколькими вольтами ограничевается возможная ЭДС гальванического элемента (батарейки). Десятки милливольт — это напряжение на синапсах нервных клеток. Десять вольт способны разорвать почти любую химическую связь, а \(25\) миливольт оказывают воздействие такое же, как и обычное тепловое движение. Вольт является примерной границей между вредным и безопасным напряжением (не в смысле удара током, а в смысле длительного воздействия). Поэтому значение ампера подгоняется под такое, чтобы вольт был имено таким.

Электрон, разогнанный разностью потенциалов в десяток вольт, обладает достаточной энергией, чтобы разорвать большинство химических связей, поэтому атомная единица напряжения — это тоже величина близкая к вольту.
\begin{equation}
\varphi_0 = 1\,\text{B}
\end{equation}
А на самом деле
\begin{equation}
\varphi_a = 10^{1,4}\,\text{B}
\end{equation}

3.2. Заряд

Исходя из этого мы найдем заряд электрона. Он, будучи атомной единицей электрического заряда, равен отношению атомной единицы энергии к атомной единице напряжения, поэтому
\begin{equation}
e_0 = N^{-2/3}\,\text{Кл}= 10^{-18,3}\,\text{Кл}
\end{equation}
На самом деле
\begin{equation}
e = 10^{-18,8}\,\text{Кл}
\end{equation}

3.3. Константа взаимодействия

Атомная единица энергии равна по порядку энергии взаимодействя двух элементарных зарядов на расстоянии в одну атомную единицу длины (как это и происходит в атоме). Энергия взаимодействия выражается формулой
\[ E_0 = k_0 \dfrac{e_0^2}{r_0} \]
Поэтому константа Кулона
\begin{equation}
k_{0c} = N^{1/3}\,\text{Н}\,\text{м}^{2}\text{Кл}^{-2}= 10^{9,3}\,\text{Н}\,\text{м}^{2}\text{Кл}^{-2}
\end{equation}
\begin{equation}
k_c = 10^{10,0}\,\text{Н}\,\text{м}^{2}\text{Кл}^{-2}
\end{equation}

4. Термодинамика

4.1. Температура

Температуру мы измеряем в градусах Цельсия или кельвинах. Это одна сотая часть интервала температур между точкой кипения и замерзания воды или одна трехсотая абсолютной комнатной температуры. Человек очень хорошо чувствует изменения температуры даже в один кельвин (вспомните, как вы болеете). Но почему?

Дело в том, что скорость химических реакций пропорциональна доле энергичных молекул, то есть молекул, обладающих достаточной для реакции энергией, энергией активации \(E\), которая также имеет порядок атомной энергии. Согласно распределению Больцмана по энергиям, доля таких молекул завист от температуры как \(e^{-E/T}\). Простое дифференцирование дает
\begin{equation}
de^{-E/T} = e^{-E/T}\dfrac{E}{T^2}dT
\end{equation}
То есть, если изменить температуру всего на \(\delta T = \dfrac{T^2}{E}\approx \theta^2E\) скорости реакций изменятся в разы. Таким образом, удобная в нашем холодном (с точки зрения атомов) мире единица температуры — это \(\theta^2\) от атомной единицы температуры. А атомная единица тогда
\begin{equation}
T_0 = \theta^{-2}\,\text{К} = 10^{5,4}\,\text{К}
\end{equation}
На самом деле
\begin{equation}
T_a = 10^{5,5}\,\text{К}
\end{equation}

4.2. Константа Больцмана

Выразим тогда константу Больцмана
\begin{equation}
k_{0b} = \theta^2N^{-2/3}\,\text{Дж}\,\text{К}^{-1} = 10^{-24,0}\,\text{Дж}\,\text{К}^{-1}
\end{equation}
На самом деле
\begin{equation}
k_b = 10^{-22,9}\,\text{Дж}\,\text{К}^{-1}
\end{equation}

5. Вывод

Велико желание продолжить подобным образом выводить константы и дальше: скорость света, констатнту всемирного тяготения и т.д.. Но это, скорее всего, невозможно. Скорость света в \(137\) раз больше атомной единицы скорости. Почему имено в такое число раз, неизвестно. Была бы она больше в миллиард раз, в жизни слепых, не фотосинтезирующих, не ориентирующихся по магнитному полю существ не изменилось бы ровно ничего. Постоянная тонкой структуры \(\alpha\approx\frac{1}{137}\) — вот это по настоящему фундаментальная константа, потому что она безразмерна, а мы занимались выведением размерных констант, то есть сопоставлением масштабов.

Written on August 20, 2015